こんにちは。

予算が重要そうなのでそれを中心に、ご回答いたしますね。
少し長くなりますが、宜しくお願いします。

まず、浴室の作り方ですが、大きく分けて在来工法とユニットバス工法の2つに分けられます。
文面を拝見します限り、yo-ko-chanさんのバスルームは、98%位で在来工法かなと思います。
在来工法は、自由度の高いお風呂の施工方法でタイルや石が全面に使われることが多いです。
ユニットバス工法は、1つの箱の中に浴槽・壁・床・天井・照明・水栓部があらかじめ設計されているものです。

yo-ko-chanさんのご希望は、まず抑えられた予算あってのお話ですので、全部やり直すことを前提にいたしますと、ユニットバス工法が好ましいかと思います。
「寒くない・開放的・汚れが落ちやすい・安全・快適・おしゃれ」といった要望は、ユニットバスで叶えられますし、各メーカーがそれぞれ差別化を図っていて、良し悪しあります。加えて設備等のメンテナンスしやすい、施工期間が短いというところが、ユニットバスの良い点です。
(メーカー→TOTO,LIXIL,Panasonic,TOCLAS,クリナップ他。)
ただし、yo-ko-chanさんのバスルームが極端に変形していたり、高さが取れないと、ユニットバスでは対応できなくなります。

対して、本当にお金をかけないのであれば、既存を上手に利用する事です。
・タイル・壁は、シートを上貼り
・床は、冷たさを和らげるサーモタイルを上貼り
・水栓は、サーモスタット水栓の取り替え
（突然熱いお湯が出るのは、サーモスタット部の故障かと思います。）
・浴槽は、深さの低いものに交換(可能な場合)
上記の中でも選ぶものを間違えなければ、おしゃれにはできると思います。
これは提案する側のセンスです。

他にもいくつか改善・懸念事項ありますが、
まずは、予算と上のような希望を伝えた上で、リフォーム会社等に現地調査・採寸をしてもらい、見積もりをだしてもらうことが、現実的にyo-ko-chanさんがバスルームを素敵にする近道かと思います。その後、ショールームでじっくりと色々な機能や商品を見ても遅くないでしょう。

一つ参考にしていただければ幸いです。

デザインリフォームのルコーデさま

ご丁寧なご回答ありがとうございました。

一つ一つの問題を別々に考えていたのが問題だったのだと思いました。

床、天井、窓、壁、バスダブ、シャワー、ドア、とそれぞれで考えていると莫大な費用が必要になることが予想されたので、不安になってしまっていました。

まずはユニットバス工法でどの程度の予算が必要なのかというのを様々なメーカーに依頼をして比較検討してみようと思います。

急がば回れ、という言葉がよぎりました。

方向性が見えたようで、よかったです。また何かありましたら、いつでもご質問ください。